La normale formula di distribuzione si basa su due semplici parametri - media e deviazione standard - che quantificano le caratteristiche di un determinato set di dati. Mentre la media indica il valore "centrale" o medio dell'intero set di dati, la deviazione standard indica la "diffusione" o la variazione dei punti dati attorno a quel valore medio.
Considera i seguenti 2 set di dati:
Set di dati 1 = {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}
Set di dati 2 = {6, 8, 10, 12, 14, 14, 12, 10, 8, 6}
Per Dataset1, media = 10 e deviazione standard (stddev) = 0
Per Dataset2, media = 10 e deviazione standard (stddev) = 2, 83
Tracciamo questi valori per DataSet1:
Allo stesso modo per DataSet2:
La linea orizzontale rossa in entrambi i grafici sopra indica la "media" o il valore medio di ciascun set di dati (10 in entrambi i casi). Le frecce rosa nel secondo grafico indicano la diffusione o la variazione dei valori dei dati dal valore medio. Ciò è rappresentato da un valore di deviazione standard di 2, 83 nel caso di DataSet2. Poiché DataSet1 ha tutti i valori uguali (pari a 10 ciascuno) e nessuna variazione, il valore stddev è zero e quindi non sono applicabili frecce rosa.
Il valore stddev ha alcune caratteristiche significative e utili che sono estremamente utili nell'analisi dei dati. Per una distribuzione normale, i valori dei dati sono distribuiti simmetricamente su entrambi i lati della media. Per qualsiasi set di dati normalmente distribuito, tracciare un grafico con stddev sull'asse orizzontale e n. dei valori dei dati sull'asse verticale, si ottiene il seguente grafico.
Proprietà di una distribuzione normale
- La curva normale è simmetrica rispetto alla media; La media è al centro e divide l'area in due metà; L'area totale sotto la curva è uguale a 1 per media = 0 e stdev = 1; La distribuzione è completamente descritta dalla sua media e stddev
Come si può vedere dal grafico sopra, stddev rappresenta quanto segue:
- Il 68, 3% dei valori dei dati si trova all'interno di 1 deviazione standard della media (da -1 a +1) Il 95, 4% dei valori dei dati si trova all'interno di 2 deviazioni standard della media (da -2 a +2) Il 99, 7% dei valori dei dati si trova all'interno di 3 deviazioni standard della media (da -3 a +3)
L'area sotto la curva a campana, quando misurata, indica la probabilità desiderata di un determinato intervallo:
- inferiore a X: - ad es. probabilità che i valori dei dati siano inferiori a 70 maggiori di X - ad es. probabilità che i valori dei dati siano maggiori di 95 tra X 1 e X 2 - es. probabilità dei valori dei dati tra 65 e 85
dove X è un valore di interesse (esempi di seguito).
Tracciare e calcolare l'area non è sempre conveniente, poiché set di dati diversi avranno valori medi e stddev diversi. Per facilitare un metodo standard uniforme per calcoli facili e applicabilità a problemi del mondo reale, è stata introdotta la conversione standard in valori Z, che fanno parte della tabella di distribuzione normale.
Z = (X - media) / stddev, dove X è la variabile casuale.
Fondamentalmente, questa conversione forza la media e lo stddev a essere standardizzati rispettivamente a 0 e 1, il che consente di utilizzare un set definito standard di valori Z (dalla tabella di distribuzione normale) per semplici calcoli. Un'istantanea della tabella del valore z standard contenente i valori di probabilità è la seguente:
|
z |
0.00 |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
0.06 |
|
0.0 |
0.00000 |
0, 00, 399 mila |
0, 00, 798 mila |
0, 01, 197 mila |
0, 01, 595 mila |
0, 01, 994 mila |
… |
|
0.1 |
0, 0398 |
0, 04, 38 mila |
0, 04, 776 mila |
0, 05, 172 mila |
0, 05, 567 mila |
0, 05, 966 mila |
… |
|
0.2 |
0, 0793 |
0, 08, 317 mila |
0, 08, 706 mila |
0, 09, 095 mila |
0, 09, 483 mila |
0, 09, 871 mila |
… |
|
0.3 |
0, 11, 791 mila |
0, 12, 172 mila |
0, 12, 552 mila |
0, 12, 93 mila |
0, 13, 307 mila |
0, 13, 683 mila |
… |
|
0.4 |
0, 15, 542 mila |
0, 15, 91 mila |
0, 16, 276 mila |
0, 16, 64 mila |
0, 17, 003 mila |
0, 17, 364 mila |
… |
|
0.5 |
0, 19, 146 mila |
0, 19, 497 mila |
0, 19, 847 mila |
0, 20, 194 mila |
0, 20, 54 mila |
0, 20, 884 mila |
… |
|
0.6 |
0, 22, 575 mila |
0, 22, 907 mila |
0, 23, 237 mila |
0, 23, 565 mila |
0, 23, 891 mila |
0, 24, 215 mila |
… |
|
0.7 |
0, 25, 804 mila |
0, 26, 115 mila |
0, 26, 424 mila |
0, 26, 73 mila |
0, 27, 035 mila |
0, 27, 337 mila |
… |
|
... |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Per trovare la probabilità correlata al valore z di 0, 239865, per prima cosa arrotondarla al secondo decimale (ovvero 0, 24). Quindi controlla le prime 2 cifre significative (0, 2) nelle righe e la cifra meno significativa (rimanente 0, 04) nella colonna. Ciò porterà a un valore di 0, 09483.
La tabella di distribuzione normale completa, con precisione fino a 5 decimali per i valori di probabilità (compresi quelli per i valori negativi), è disponibile qui.
Vediamo alcuni esempi di vita reale. L'altezza degli individui in un grande gruppo segue un modello di distribuzione normale. Supponiamo di avere un insieme di 100 individui le cui altezze sono registrate e che la media e lo stddev sono calcolati rispettivamente a 66 e 6 pollici.
Ecco alcune domande di esempio alle quali è possibile rispondere facilmente utilizzando la tabella dei valori z:
- Qual è la probabilità che una persona nel gruppo sia di 70 pollici o meno?
La domanda è trovare il valore cumulativo di P (X <= 70), cioè nell'intero set di dati di 100, quanti valori saranno compresi tra 0 e 70.
Per prima cosa convertiamo un valore X di 70 nel valore Z equivalente.
Z = (X - media) / stddev = (70-66) / 6 = 4/6 = 0.66667 = 0.67 (arrotondato al secondo decimale)
Ora dobbiamo trovare P (Z <= 0.67) = 0. 24857 (dalla tabella z sopra)
cioè c'è una probabilità del 24, 857% che un individuo nel gruppo sarà inferiore o uguale a 70 pollici.
Ma aspetta: quanto sopra è incompleto. Ricorda, stiamo cercando la probabilità di tutte le altezze possibili fino a 70, cioè da 0 a 70. Quanto sopra ti dà solo la porzione dal valore medio a quello desiderato (cioè da 66 a 70). Dobbiamo includere l'altra metà - da 0 a 66 - per arrivare alla risposta corretta.
Poiché da 0 a 66 rappresenta la mezza porzione (ovvero una media da estrema a media), la sua probabilità è semplicemente 0, 5.
Da qui la probabilità corretta di una persona di essere 70 pollici o meno = 0, 24857 + 0, 5 = 0. 74857 = 74, 857%
Graficamente (calcolando l'area), queste sono le due regioni sommate che rappresentano la soluzione:
- Qual è la probabilità che una persona sia di 75 pollici o superiore?
cioè Trova P cumulativo complementare (X> = 75).
Z = (X - media) / stddev = (75-66) / 6 = 9/6 = 1.5
P (Z> = 1, 5) = 1- P (Z <= 1, 5) = 1 - (0, 5 + 0, 43319) = 0, 06681 = 6, 681%
- Qual è la probabilità che una persona si trovi tra 52 pollici e 67 pollici?
Trova P (52 <= X <= 67).
P (52 <= X <= 67) = P = P (-2.33 <= Z <= 0.17)
= P (Z <= 0.17) –P (Z <= -0.233) = (0, 5 + 0, 56749) - (.40905) =
Questa normale tabella di distribuzione (e valori z) trova comunemente uso per eventuali calcoli di probabilità sui movimenti di prezzo attesi nel mercato azionario per azioni e indici. Sono utilizzati nel trading basato su range, identificando i trend di rialzo o ribasso, supporto o resistenza e altri indicatori tecnici basati su normali concetti di distribuzione di media e deviazione standard.
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