Valorizzare le opzioni può essere un affare complicato. Considera il seguente scenario: a gennaio 2015, le azioni IBM sono state scambiate a $ 155 e ti aspettavi che salisse più in alto nel prossimo anno. Si intende acquistare un'opzione call sul titolo IBM con un prezzo d'esercizio ATM di $ 155, prevedendo di beneficiare di rendimenti percentuali elevati, basati su un costo dell'opzione ridotto (premio opzione), rispetto all'acquisto di azioni con un prezzo d'acquisto elevato.
Quale dovrebbe essere il valore equo di questa opzione call su IBM?
Oggi sono disponibili due diversi metodi pronti per valutare le opzioni, tra cui il modello Black-Scholes e il modello di albero binomiale, che possono fornire risposte rapide. Ma quali sono i fattori sottostanti e i concetti guida per arrivare a tali modelli di valutazione? Può essere preparato qualcosa di simile, basato sul concetto di questi modelli?
Qui, copriamo gli elementi costitutivi, i concetti sottostanti e i fattori che possono essere utilizzati come framework per costruire un modello di valutazione per un asset come le opzioni, fornendo un confronto fianco a fianco con le origini del Black-Scholes (BS) modello.
Il mondo prima di Black-Scholes
Prima di Black-Scholes, il modello Capital Asset Pricing Model (CAPM) basato sull'equilibrio era ampiamente seguito. I rendimenti e i rischi sono stati bilanciati tra loro, in base alle preferenze dell'investitore, vale a dire che un investitore ad alto rischio avrebbe dovuto essere compensato con (il potenziale di) rendimenti più elevati in una proporzione simile.
Il modello BS trova le sue radici in CAPM. Secondo Fisher Black: "Ho applicato il modello di prezzi delle attività in conto capitale in ogni momento della vita di un warrant, per ogni possibile prezzo di borsa e valore del warrant". Sfortunatamente, il CAPM non è stato in grado di soddisfare il requisito del prezzo di warrant (opzione).
Black-Scholes rimane il primo modello, basato sul concetto di arbitraggio, facendo un cambio di paradigma da modelli basati sul rischio (come il CAPM). Questo nuovo sviluppo del modello BS ha sostituito il concetto di rendimento delle azioni CAPM con il riconoscimento del fatto che una posizione perfettamente coperta guadagnerà un tasso privo di rischio. Ciò ha eliminato le variazioni del rischio e del rendimento e ha stabilito il concetto di arbitraggio in cui le valutazioni vengono eseguite su ipotesi di concetto neutrale al rischio: una posizione coperta (senza rischi) dovrebbe portare a un tasso di rendimento privo di rischi.
Lo sviluppo di Black-Scholes
Cominciamo stabilendo il problema, quantificandolo e sviluppando un framework per la sua soluzione. Continuiamo con il nostro esempio sulla valutazione dell'opzione call ATM su IBM con un prezzo d'esercizio di $ 155 con scadenza di un anno.
Sulla base della definizione base di un'opzione call, a meno che il prezzo delle azioni non raggiunga il livello di strike, il payoff rimane zero. Dopo quel livello, il payoff aumenta in modo lineare (cioè, un aumento di un dollaro nel sottostante fornirà un payoff di un dollaro dall'opzione call).
Supponendo che l'acquirente e il venditore siano d'accordo su una valutazione equa (incluso il prezzo zero), il prezzo equo teorico per questa opzione call sarà:
- Prezzo opzione call = $ 0, se sottostante <strike (grafico rosso) Prezzo opzione call = (sottostante — strike), se sottostante> = strike (grafico blu)
Ciò rappresenta il valore intrinseco dell'opzione e sembra perfetto dal punto di vista di un acquirente di opzioni call. Nella regione rossa, sia l'acquirente che il venditore hanno una valutazione equa (prezzo zero per il venditore, zero payoff per l'acquirente). Tuttavia, la sfida della valutazione inizia con la regione blu, poiché l'acquirente ha il vantaggio di un payoff positivo, mentre il venditore subisce una perdita (a condizione che il prezzo sottostante superi il prezzo di esercizio). È qui che l'acquirente ha un vantaggio rispetto al venditore a prezzo zero. I prezzi devono essere diversi da zero per compensare il venditore per il rischio che sta assumendo.
Nel primo caso (grafico rosso), teoricamente, il venditore riceve un prezzo pari a zero e il potenziale acquirente è pari a zero (equo per entrambi). In quest'ultimo caso (grafico blu), il differenziale tra il sottostante e lo strike deve essere pagato dal venditore all'acquirente. Il rischio del venditore si estende per la durata di un intero anno. Ad esempio, il prezzo delle azioni sottostanti può muoversi molto in alto (diciamo a $ 200 tra quattro mesi) e il venditore è tenuto a pagare all'acquirente il differenziale di $ 45.
Quindi, si riduce a:
- Il prezzo del sottostante supererà il prezzo d'esercizio? In caso affermativo, quanto può arrivare il prezzo sottostante (poiché ciò determinerà il payoff per l'acquirente)?
Ciò indica il grande rischio assunto dal venditore, il che porta alla domanda: perché qualcuno dovrebbe vendere una simile chiamata, se non ottengono qualcosa per il rischio che stanno correndo?
Il nostro obiettivo è quello di arrivare a un unico prezzo che il venditore dovrebbe addebitare all'acquirente, il che può compensarlo del rischio complessivo che sta assumendo da un anno, sia nella regione a pagamento zero (rossa) che nella regione di pagamento lineare (blu). Il prezzo dovrebbe essere equo e accettabile sia per l'acquirente che per il venditore. In caso contrario, colui che è in svantaggio in termini di pagamento o di ricezione di un prezzo sleale non parteciperà al mercato, vanificando così lo scopo dell'attività commerciale. Il modello Black-Scholes mira a stabilire questo prezzo equo considerando la variazione costante del prezzo del titolo, il valore temporale del denaro, il prezzo di esercizio dell'opzione e il tempo alla scadenza dell'opzione. Simile al modello BS, vediamo come possiamo avvicinarci per valutare questo per il nostro esempio usando i nostri metodi.
Come valutare il valore intrinseco nella regione blu?
Sono disponibili un paio di metodi per prevedere il movimento dei prezzi previsto in futuro durante un determinato periodo di tempo:
- Si possono analizzare movimenti di prezzo simili della stessa durata nel recente passato. Lo storico prezzo di chiusura di IBM indica che nell'ultimo anno (dal 2 gennaio 2014 al 31 dicembre 2014), il prezzo è sceso a $ 160, 44 da $ 185, 53, con un calo del 13, 5%. Possiamo concludere una variazione di prezzo del 13, 5% per IBM? Un ulteriore controllo dettagliato indica che ha toccato un massimo annuale di $ 199, 21 (il 10 aprile 2014) e un minimo annuale di $ 150, 5 (il 16 dicembre 2014). Basandoli sul giorno di inizio, il 2 gennaio 2014 e sul prezzo di chiusura di $ 185, 53, la variazione percentuale varia da + 7, 37% a -18, 88%. Ora, l'intervallo di variazione sembra molto più ampio rispetto al precedente calo calcolato del 13, 5%.
Analisi e osservazioni simili su dati storici possono essere portate avanti. Per continuare lo sviluppo del nostro modello di prezzi, ipotizziamo questa semplice metodologia per valutare le future variazioni di prezzo.
Supponiamo che IBM aumenti del 10% ogni anno (sulla base dei dati storici degli ultimi 20 anni). Le statistiche di base indicano che la probabilità che la variazione del prezzo delle azioni IBM si aggiri attorno al + 10% sarà molto più elevata della probabilità che il prezzo IBM aumenti del 20% o diminuisca del 30%, supponendo che i modelli storici si ripetano. Raccogliendo punti dati storici simili con valori di probabilità, un rendimento atteso complessivo sul prezzo delle azioni IBM in un periodo di un anno può essere calcolato come media ponderata delle probabilità e dei rendimenti associati. Ad esempio, supponiamo che i dati storici sui prezzi di IBM indichino le seguenti mosse:
- (-10%) nel 25% delle volte, + 10% nel 35% delle volte, + 15% nel 20% delle volte, + 20% nel 10% delle volte, + 25% nel 5% delle volte e (-15%) nel 5% delle volte.
Quindi, la media ponderata (o il valore atteso) arriva a:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Vale a dire, in media, il prezzo delle azioni IBM dovrebbe tornare a + 6, 5% in un anno per ogni dollaro. Se qualcuno acquista azioni IBM con un orizzonte di un anno e un prezzo di acquisto di $ 155, ci si può aspettare un rendimento netto del 155 * 6, 5% = $ 10, 075.
Tuttavia, questo è per il rendimento delle scorte. Dobbiamo cercare rendimenti attesi simili per l'opzione call.
Sulla base del payoff zero della chiamata al di sotto del prezzo di esercizio ($ 155 esistenti - chiamata ATM), tutte le mosse negative genereranno payoff zero, mentre tutte le mosse positive al di sopra del prezzo di esercizio genereranno payoff equivalente. Il rendimento atteso per l'opzione call sarà quindi:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Cioè, per ogni $ 100 investiti nell'acquisto di questa opzione, ci si può aspettare $ 9, 75 (sulla base delle ipotesi di cui sopra).
Tuttavia, ciò rimane ancora limitato alla valutazione equa della quantità intrinseca dell'opzione e non cattura correttamente il rischio sostenuto dal venditore dell'opzione per le oscillazioni elevate che possono verificarsi nel frattempo (nel caso dei summenzionati valori alti e bassi intrayear prezzi). Oltre al valore intrinseco, quale prezzo può essere concordato dall'acquirente e dal venditore, in modo che il venditore sia equamente compensato per il rischio che sta assumendo nell'arco di un anno?
Queste oscillazioni possono variare ampiamente e il venditore può avere la propria interpretazione di quanto vuole essere compensato. Il modello Black-Scholes presuppone opzioni di tipo europeo, ovvero nessun esercizio prima della data di scadenza. Pertanto, rimane invariato dalle oscillazioni intermedie dei prezzi e basa la sua valutazione sui giorni di negoziazione end-to-end.
Nel trading reale, questa volatilità svolge un ruolo importante nel determinare i prezzi delle opzioni. La funzione di payoff blu che comunemente vediamo è in realtà il payoff alla data di scadenza. Realisticamente, il prezzo dell'opzione (grafico rosa) è sempre superiore al payoff (grafico blu), indicando il prezzo preso dal venditore per compensare le sue capacità di assunzione di rischi. Questo è il motivo per cui il prezzo dell'opzione è anche noto come "premio", indicando essenzialmente il premio per il rischio.
Questo può essere incluso nel nostro modello di valutazione, a seconda di quanta volatilità è prevista nel prezzo delle azioni e di quanto valore atteso che sarebbe prodotto.
Il modello di Black-Scholes lo fa in modo efficiente (ovviamente, secondo i propri presupposti) come segue:
C = S × N (d1) -X × e-RTN (D2)
Il modello BS presuppone una distribuzione lognormale dei movimenti dei prezzi delle azioni, il che giustifica l'uso di N (d1) e N (d2).
- Nella prima parte, S indica il prezzo corrente del titolo. N (d1) indica la probabilità dell'attuale movimento dei prezzi delle azioni.
Se questa opzione va in-the-money permettendo all'acquirente di esercitare questa opzione, otterrà una quota del titolo IBM sottostante. Se il trader lo esercita oggi, allora S * N (d1) rappresenta il valore atteso attuale dell'opzione.
Nella seconda parte, X indica il prezzo di esercizio.
- N (d2) rappresenta la probabilità che il prezzo del titolo sia superiore al prezzo di esercizio, quindi X * N (d2) rappresenta il valore atteso del prezzo del titolo che rimane al di sopra del prezzo di esercizio.
Poiché il modello di Black-Scholes assume opzioni di tipo europeo in cui l'esercizio è possibile solo alla fine, il valore atteso rappresentato sopra da X * N (d2) dovrebbe essere attualizzato per il valore temporale del denaro. Quindi, l'ultima parte viene moltiplicata per il termine esponenziale elevato al tasso di interesse nel periodo di tempo.
La differenza netta dei due termini indica il valore del prezzo dell'opzione a partire da oggi (in cui il secondo termine è scontato)
Nel nostro framework, tali movimenti di prezzo possono essere inclusi in modo più accurato in diversi modi:
- Ulteriore affinamento dei calcoli dei rendimenti attesi espandendo l'intervallo a intervalli più fini per includere gli spostamenti dei prezzi intraday / intrayear Inclusione dei dati di mercato attuali, in quanto riflette l'attività odierna (simile alla volatilità implicita) Ritorni attesi alla data di scadenza, che può essere attualizzato ai giorni nostri per valutazioni realistiche e ulteriormente ridotto dal valore attuale
Pertanto, vediamo che non ci sono limiti a ipotesi, metodologie e personalizzazioni da selezionare per l'analisi quantitativa. A seconda dell'asset da negoziare o dell'investimento da considerare, è possibile elaborare un modello auto-sviluppato. È importante notare che la volatilità dei movimenti di prezzo delle diverse classi di attività varia molto - le azioni hanno una volatilità distorta, il forex ha una volatilità aggrottata - e gli utenti dovrebbero incorporare i modelli di volatilità applicabili nei loro modelli. Ipotesi e gli svantaggi sono parte integrante di qualsiasi modello e l'applicazione consapevole dei modelli negli scenari di trading del mondo reale può produrre risultati migliori.
La linea di fondo
Con le attività complesse che entrano nei mercati o anche le semplici attività di vaniglia che entrano in forme complesse di negoziazione, la modellazione quantitativa e l'analisi stanno diventando obbligatorie per la valutazione. Sfortunatamente, nessun modello matematico è privo di una serie di inconvenienti e ipotesi. L'approccio migliore è quello di mantenere le ipotesi al minimo ed essere consapevoli degli inconvenienti impliciti, che possono aiutare a tracciare le linee sull'uso e l'applicabilità dei modelli.
