Anche se non conosci la distribuzione binomiale per nome e non hai mai frequentato un corso avanzato di statistica del college, lo capisci perfettamente. Davvero. È un modo per valutare la probabilità che un evento discreto accada o non accada. E ha molte applicazioni in ambito finanziario. Ecco come funziona:
Inizi tentando qualcosa: lanci di monete, tiri liberi, giri della roulette, qualunque cosa. L'unica qualifica è che qualcosa in questione deve avere esattamente due possibili esiti. Successo o fallimento, tutto qui. (Sì, una ruota della roulette ha 38 possibili esiti. Ma dal punto di vista di uno scommettitore, ce ne sono solo due. O vincerai o perderai.)
Useremo i tiri gratuiti per il nostro esempio, perché sono un po 'più interessanti della probabilità esatta e immutabile del 50% di una testa di atterraggio di una moneta. Supponi di essere Dirk Nowitzki dei Dallas Mavericks, che l'anno scorso ha colpito l'89, 9% dei suoi tiri liberi. Lo chiameremo 90% per i nostri scopi. Se dovessi metterlo al limite in questo momento, quali sono le probabilità che colpisca (almeno) 9 su 10?
No, non sono al 100%. Né sono al 90%.
Sono il 74%, che ci crediate o no. Ecco la formula. Siamo tutti adulti qui, non c'è bisogno di aver paura degli esponenti e delle lettere greche:
n è il numero di tentativi. In questo caso, 10.
i è il numero di successi, che è 9 o 10. Calcoleremo la probabilità per ciascuno, quindi li aggiungeremo.
p è la probabilità di successo di ogni singolo evento, che è.9.
La possibilità di raggiungere l'obiettivo, ovvero la distribuzione binomiale di successi e fallimenti, è questa:
i = 0Σk (ni) pi (1-p) ni
Notazione matematica correttiva, se hai bisogno di ulteriori termini in quella espressione:
(Ni) = (ni)! I! N!
Questo è il "binomio" nella distribuzione binomiale: vale a dire, due termini. Siamo interessati non solo al numero di successi, né solo al numero di tentativi, ma ad entrambi. Ognuno è inutile per noi senza l'altro.
Notazione matematica più correttiva:! è fattoriale: moltiplicare un numero intero positivo per ogni numero intero più piccolo positivo. Per esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2
Collega i numeri, ricordando che dobbiamo risolvere sia i 9 tiri liberi su 10 che i 10 su 10, e otteniamo
(9! 1! 10! ×.9.9 ×.1.1) + (10! 10! × 0, 91 × 0, 10)
= 0, 387420489 (che è la probabilità di colpire nove) + 0, 3486784401 (la possibilità di colpire tutti e dieci)
= 0, 736098929
Questa è la distribuzione cumulativa , al contrario della semplice distribuzione di probabilità . La distribuzione cumulativa è la somma di più distribuzioni di probabilità (nel nostro caso, che sarebbero due.) La distribuzione cumulativa calcola la possibilità di colpire un intervallo di valori - qui, 9 o 10 tiri liberi su 10 - invece di un singolo valore. Quando chiediamo quali sono le probabilità che Nowitzki colpisca 9 su 10, dovremmo capire che intendiamo "9 o meglio su 10", non "esattamente 9 su 10."
Cosa c'entra questo con la finanza? Più di quanto potresti pensare. Supponiamo che tu sia una banca, un prestatore, che conosce entro tre decimali la probabilità che un determinato debitore sia inadempiente. Quali sono le possibilità che così tanti mutuatari inadempiano da rendere insolvente la banca? Una volta che si utilizza la funzione di distribuzione binomiale cumulativa per calcolare quel numero, si ha una migliore idea di come valutare l'assicurazione e, in definitiva, quanti soldi prestare e quanto tenere in riserva.
Vi siete mai chiesti come vengono determinati i prezzi iniziali delle opzioni? Stessa cosa, in un certo senso. Se un titolo sottostante volatile ha la possibilità di colpire un determinato prezzo, puoi vedere come si muove il titolo in una serie di n periodi per determinare a quale prezzo dovrebbero vendere le opzioni. (Pronto per tecniche di trading più avanzate? Dai un'occhiata al pezzo di Investopedia sulle strategie per l'utilizzo degli indicatori tecnici.)
Applicare la funzione di distribuzione binomiale per finanziare dà risultati sorprendenti, se non del tutto controintuitivi; proprio come la possibilità che un tiratore a tiro libero del 90% colpisca il 90% dei suoi tiri liberi sia qualcosa di meno del 90%. Supponi di avere una sicurezza che ha più probabilità di ottenere un guadagno del 20% e una perdita del 20%. Se il prezzo del titolo dovesse scendere del 20%, quali sono le probabilità che rimbalzi al suo livello iniziale? Ricorda che un semplice guadagno corrispondente del 20% non lo taglierà: uno stock che scende al 20% e quindi guadagna il 20% sarà comunque in calo del 4%. Continua a alternare cadute e guadagni del 20%, e alla fine lo stock sarà inutile.
La linea di fondo
Gli analisti che comprendono la distribuzione binomiale hanno a disposizione un set di strumenti di qualità aggiuntivo per determinare i prezzi, valutare i rischi ed evitare i risultati spiacevoli che possono derivare da una preparazione insufficiente. Quando capisci la distribuzione binomiale e i suoi risultati spesso sorprendenti, sarai molto più avanti delle masse.
